Natural de Alcorcón, Dani Gómez se formó en las categorías inferiores del Real Madrid, donde llegó con once años desde la factoría del conjunto alfarero. Para la historia quedaron sus 32 goles como Juvenil A del conjunto blanco. Fue progresando hasta llegar al Madrid Castilla, equipo en el que jugó dos temporadas (2017/18 y 2018/2019, con 16 goles en más de 50 partidos) dando un rendimiento más que notable. En esa última campaña participó en el play-off de ascenso a Segunda División, aunque el Castilla cayó ante el Cartagena. Llegó a realizar una pretemporada con el primer equipo y debutó en julio de 2017 en un amistoso de la mano de Zinedine Zidane contra el Manchester United en la gira americana.
En julio de 2018 renovó hasta junio de 2022 después de una temporada llena de diferencias entre el delantero y el club debido a que no alcanzaban un acuerdo para prolongar el contrato, lo que le hizo que perdería el puesto en favor de Cristo, que pese a ser mediapunta se desenvolvió como el delantero titular del Castilla durante gran parte de la Liga de Segunda División B. Solamente jugó 1.378 minutos (25 partidos y 14 de titular) y marcó seis goles en la 2017/18. La sintonía de Dani Gómez con Solari no fue la mejor, no así con Guti, su técnico en el Juvenil, que apostó por él con asiduidad en la Youth League y en siete partidos marcó siete goles. Sin duda, Guti fue, junto a Baraja, el técnico qué más rendimiento le ha sacado al delantero de Alcorcón.
Ese mismo día que renovaba, el Real Madrid anunciaba el fichaje de su hermano, Eric Gómez, para jugar en el Cadete B, un centrocampista zurdo de gran envergadura que también llegaba de la cantera del Alcorcón y que firmaba, al igual que Dani, hasta 2022. Eric estuvo cinco temporadas en el Real Madrid, en cadete y juvenil, y el 30 de agosto de 2023, el Alcorcón anunciaba su regreso, ahora como lateral zurdo, y para su filial; con el aval, además, de haber sido internacional Sub-15 con España. Su padre estuvo en la cantera del Atlético de Madrid, pero tuvo que dejar el fútbol antes de lo que hubiera deseado. En lo personal, la pareja de Dani Gómez desde hace varios años es Ana Cucoreanu, modelo e influencer. Este pasado mes de diciembre han sido papás de un niño.
Su ciclo fuera del Real Madrid comenzó en julio de 2019 cuando fue cedido al CD Tenerife (hubo más equipos interesados en su cesión) y a las órdenes de Rubén Baraja, sin duda su gran valedor. En la isla jugó 42 partidos (38 en Liga y 4 en Copa del Rey) y marcó 11 goles. En la competición doméstica vio puerta ante Albacete, Extremadura y Cádiz (en dos ocasiones), Sporting de Gijón, Elche y Mirandés. Y en Copa al Valladolid y al Athletic Club. Baraja fue el tercer entrenador de aquella temporada (comenzó López Garai y Sesé hizo de interino), de la jornada 19 a la 42 y las cuatro eliminatorias de la competición del KO (de primera ronda a octavos de final) y con él marcó esos 11 tantos, además de dar tres asistencias.
Su explosión en el Tenerife le valió para crecer en la selección Sub-21, con quien disputó siete encuentros, cuatro de la clasificación para el Europeo de la categoría de 2021. España jugó la fase final, Dani Gómez marcó dos goles en tercer encuentro de la fase de grupos ante la República Checa y Portugal truncó el sueño en semifinales. Con Hugo Duro compartió minutos en la selección Sub-21 dirigida por Luis De la Fuente en un encuentro en Macedonia del Norte en esa clasificación para el Europeo Sub-21, que se decidió por la mínima con un gol del propio Hugo de penalti, que tras el descanso había entrado por Dani. Previamente también fue internacional Sub-19 y disputó tres partidos, en una generación en la que también estaba Pepelu.
Ese temporadón en el CD Tenerife de Baraja sirvió para que el Levante pasara por caja. Pagó dos millones de euros al Real Madrid por el 50% de sus derechos y con una vinculación contractual que se extendía hasta el 30 de junio de 2025. Ni con Paco López, ni con Javi Pereira, ni tampoco con Alessio Lisci ni en esta última temporada con Javi Calleja ni Felipe Miñambres ha sido determinante siendo, además, más que centenario con la camiseta del Levante (105 encuentros, 16 goles y 6 asistencias). Después del descenso en la 2021/2022, Dani Gómez no quiso jugar en Segunda como granota y se marchó cedido al Espanyol, donde pasó absolutamente desapercibido ya que solamente completó 82 minutos distribuidos en ocho partidos de Liga. En su año a préstamo de blanquiazul, Dani renovó un año más con el Levante, con quien tiene contrato hasta 2026.